Всеобщий закон природы. Следовательно, он применим в том числе, и к электрическим явлениям. Рассмотрим два случая превращения энергии в электрическом поле:

1. Проводники являются изолированными ($q=const$).
2. Проводники соединены с источниками тока при этом не изменяются их потенциалы ($U=const$).

Закон сохранения энергии в цепях с постоянными потенциалами

Допустим, что имеется система тел, которая может включать в себя как проводники, так и диэлектрики. Тела системы могут совершать малые квазистатические перемещения. Температура системы поддерживается постоянной ($\to \varepsilon =const$), то есть тепло подводится к системе, или отводится от нее при необходимости. Диэлектрики, входящие в систему будем считать изотропными, плотность их положим постоянной. В этом случае доля внутренней энергии тел, которая не связана с электрическим полем изменяться не будет. Рассмотрим варианты превращений энергии в подобной системе.

На любое тело, которое находится в электрическом поле, действуют пондемоторные силы (силы, действующие на заряды внутри тел). При бесконечно малом перемещении пондемоторные силы выполнят работу $\delta A.\ $Так как тела перемещаются, то изменение энергии dW. Так же при перемещении проводников изменяется их взаимная емкость, следовательно, для сохранение потенциала проводников неизменным, необходимо изменять заряд на них. Значит, каждый из источников тора совершает работу равную $\mathcal E dq=\mathcal E Idt$, где $\mathcal E $ - ЭДС источника тока, $I$ -- сила тока, $dt$ - время перемещения. В нашей системе возникнут электрические токи, и в каждой ее части выделится тепло:

По закону сохранения заряда, работа всех источников тока равна механической работе сил электрического поля плюс изменение энергии электрического поля и тепло Джоуля -- Ленца (1):

В случае если проводники и диэлектрики в системе неподвижны, то $\delta A=dW=0.$ Из (2) следует, что вся работа источников тока превращается в тепло.

Закон сохранения энергии в цепях с постоянными зарядами

В случае $q=const$ источники тока не войдут в рассматриваемую систему, тогда левая часть выражения (2) станет равна нулю. Помимо этого, тепло Джоуля - Ленца возникающее за счет перераспределения зарядов в телах при их перемещении обычно считают несущественным. В таком случае закон сохранения энергии будет иметь вид:

Формула (3) показывает, что механическая работа сил электрического поля равна уменьшению энергии электрического поля.

Применение закона сохранения энергии

Используя закон сохранения энергии в большом количестве случаев можно рассчитать механические силы, которые действуют в электрическом поле, при чем сделать это порой существенно проще, чем, если рассматривать непосредственное действие поля на отдельные части тел системы. При этом действуют по следующей схеме. Допустим необходимо найти силу $\overrightarrow{F}$, которая действует на тело в поле. Полагают, что тело перемещается (малое перемещение тела $\overrightarrow{dr}$). Работа искомой силы равна:

Пример 1

Задание: Вычислите силу притяжения, которая действует между пластинами плоского конденсатора, который помещен в однородный изотропный жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Площадь пластин S. Напряжённость поля в конденсаторе E. Пластины отключены от источника. Сравните силы, которые действуют на пластины при наличии диэлектрика и в вакууме.

Так как сила может быть только перпендикулярна пластинам, то перемещение выберем по нормали к поверхности пластин. Обозначим через dx перемещение пластин, то механическая работа будет равна:

\[\delta A=Fdx\ \left(1.1\right).\]

Изменение энергии поля при этом составит:

Следуя уравнению:

\[\delta A+dW=0\left(1.4\right)\]

Если между пластинами находится вакуум, то сила равна:

При заполнении конденсатора, который отключен от источника, диэлектриком напряженность поля внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon $ раз, следовательно, уменьшается и сила притяжения пластин во столько же раз. Уменьшение сил взаимодействия между пластинами объясняется наличием сил электрострикции в жидких и газообразных диэлектриках, которые расталкивают пластины конденсатора.

Ответ: $F=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}S,\ F"=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}S.$

Пример 2

Задание: Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). При зарядке конденсатора жидкость втягивается в конденсатор. Вычислить силу f, с которой поле действует на единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считать, что пластины соединены с источником напряжения (U=const).

Обозначим через h- высоту столба жидкости, dh - изменение (увеличение) столба жидкости. Работа искомой силы при этом будет равна:

где S -- площадь горизонтального сечения конденсатора. Изменение электрического поля равно:

На пластины перейдет дополнительный заряд dq, равный:

где $a$ -- ширина пластин, учтем, что $E=\frac{U}{d}$ тогда работа источника тока равна:

\[\mathcal E dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)adh=E\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)d\cdot a\cdot dh=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh\left(2.4\right).\]

Если считать, что сопротивление проводов мало, то $\mathcal E $=U. Используем закон сохранения энергии для систем с постоянным током при условии постоянства разности потенциалов :

\[\sum{\mathcal E Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(2.5\right).}}\]

\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)Sdh\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\ .\]

Ответ: $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}.$

1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В зависимости от того, для какого тока предназначается электрическая цепь, ее соответственно называют: «Электрическая цепь постоянного тока», «Электрическая цепь изменяющегося тока», «Электрическая цепь синусоидального тока», «Электрическая цепь не синусоидального тока».

Аналогично именуют и элементы цепей - машины постоянного тока, машины переменного тока, источники электрической энергии (ИЭЭ) постоянного тока, ИЭЭ переменного тока.

Элементы цепей и составленные из них цепи подразделяют и по виду вольт-амперной характеристики (ВАХ). При этом имеется ввиду зависимость их напряжения от тока U = f (I)

Элементы цепей, ВАХ которых линейны (рис.3, а), называют линейными элементами, и, соответственно, электрические цепи называют линейными.

Электрические цепи постоянного и переменного тока различают также по способу соединения их элементов - на неразветвленные и разветвленные.

Наконец, электрические цепи делят по числу источников электрической энергии - с одним или с несколькими ИЭЭ.

Различают активные и пассивные цепи, участки и элементы цепей.

Активными называют электрические цепи, содержащие источ­ники электрической энергии, пассивными - электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии.

Для работы электрической цепи необходимо наличие активных элементов, т. е. источников энергии.

Простейшими пассивными элементами схемы электрической цепи являются сопротивление, индуктивность и емкость. С определенной степенью приближения они замещают реальные элементы цепи - резистор, индуктивную катушку и конденсатор соответственно.

В реальной цепи электрическим сопротивлением обладает не только резистор или реостат как устройства, предназначенные для использования их электрических сопротивлений, но и любой проводник, катушка, конденсатор, обмотка любого электромагнит­ного элемента и т. д. Но общим свойством всех устройств, обладаю­щих электрическим сопротивлением, является необратимое преоб­разование электрической энергии в тепловую. Действительно, из курса физики известно, что при токе i в резисторе, обладающем сопротивлением r, за время dt в соответствии с законом Джоуля-Ленца выделяется энергия

dw = ri 2 dt,

или можно сказать, что в этом резисторе потребляется мощность

p = dw/dt = ri 2 = ui,

где u - напряжение на зажимах резистора.

Тепловая энергия, выделяемая в сопротивлении, полезно исполь­зуется или рассеивается в пространстве: Но поскольку преобра­зование электрической энергии в тепловую в пассивном элементе носит необратимый характер, то в схеме замещения во всех случаях, когда необходимо учесть необратимое преобразование энергии, включается сопротивление. В реальном устройстве, например в электромагните, электрическая энергия может быть преобразована в механическую (притяжение якоря), но в схеме замещения это устройство заменяется сопротивлением, в котором выделяется эквивалентное количество тепловой энергии. И при анализе схемы нам уже безразлично, что в действительности является потребителем энергии: электромагнит или электроплитка.

Величина, равная отношению постоянного напряжения на участке пассивной электрической цепи к постоянному току в нем при отсутствии на участке э. д. с., называется электриче­ским сопротивлением постоянному току . Оно отличается от сопротивления переменному току, определяемого делением активной мощности пассивной электрической цепи на квадрат действующего тока. Дело в том, что при переменном токе из-за поверхностного эффекта, сущность которого состоит в вытесне­нии переменного тока из центральных частей к периферии сечения проводника, сопротивление проводника возрастает и тем больше, чем больше частота переменного тока, диаметр проводника и электрическая и магнитная проводимости его материала. Иначе говоря, в общем случае проводник всегда оказывает большее сопротивле­ние переменному току, чем постоянному. В цепях переменного тока сопротивление называется активным. Цепи, характеризую­щиеся только электрическими сопротивлениями их элементов, называются резистивными .

Индуктивность L , измеряемая в генри (Г), характеризует свойство участка цепи или катушки накапливать энергию магнитного поля. В реальной цепи индуктивностью обладают не только индук­тивные катушки, как элементы цепи, предназначенные для использования их индуктивности, но и провода, и выводы конденсаторов, и реостаты. Однако в целях упрощения во многих случаях полагают, что вся энергия магнитного поля сосредоточивается только в катушках.

При возрастании тока в катушке запасается энергия магнитного поля, которая может быть определена как w м = L i 2 / 2 .

Емкость С, измеряемая в фарадах (Ф), характеризует способ­ность участка цепи или конденсатора накапливать энергию элек­трического пол я . В реальной цепи электрическая емкость сущест­вует не только в конденсаторах, как элементах, предназначенных специально для использования их емкости, но и между проводни­ками, между витками катушек (межвитковая емкость), между про­водом и землей или каркасом электротехнического устройства. Однако в схемах замещения принято, что ем­костью обладают только конденсаторы.

Энергия электрического поля, запасаемая в конденсаторе при возрастании напряжения равна .

Таким образом, параметры электрической цепи характеризуют свойства элементов поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать в другие виды энергии (необратимые процессы), а также создавать свои собственные электрические или магнитные поля, в которых энергия способна накапливаться и при определенных условиях возвращаться в электрическую цепь. Элементы электрической цепи постоянного тока характеризуются только одним параметром - сопротивлением. Сопротивление определяет свойство элемента поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать ее в другие виды энергии.

1.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЗАКОН ОМА

При наличии электрического тока в проводниках движущиеся свободные электроны, сталкиваются с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается величиной сопротивления.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 4), на которой слева показан ИЭЭ (выделен штриховыми линиями) с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением r , а справа приведена внешняя цепь - потребитель электрической энергии R . Для выяснения количественной характеристики этого сопротивления воспользуемся законом Ома для участка цепи.

Под действием э. д. с. в цепи (рис.4) возникает ток, величина которого может быть определена по формуле:

I = U/R (1.6)

Это выражение является законом Ома для участка цепи: сила тока на участке цепи пря пропорциональна напряжению, приложенному к этому участку.

Из полученного выражения найдем R = U / I и U = I R.

Необходимо отметить, что приведённые выражения справедливы при условии, что R - величина постоянная т.е. для линейной цепи, характеризуемой зависимостью I = (l / R)U (ток линейно зависит от напряжения и угол φ наклона прямой на рис.3, а равен φ = arctg(1/R)). Отсюда следует важный вывод: закон Ома справедлив для линейных цепей, когда R = const.

За единицу сопротивления принято сопротивление такого участка цепи, в котором устанавливается ток в один ампер при напряжении в один вольт:

1 Ом = 1 В/1А.

Более крупными единицами измерения сопротивления являются килоом (кОм): 1 кОм = Ом и мегом (мОм): 1 мОм = Ом.

В общем случае R = ρ l/S , где ρ - удельное сопротивление проводника с площадью поперечного сечения S и длиною l.

Однако в реальных цепях напряжение U определяется не только величиной э.д.с., но и зависит от величины тока и сопротивления r ИЭЭ, так как любой источник энергии имеет внутреннее сопротивление.

Рассмотрим теперь полную замкнутую цепь (рис. 4). Согласно закону Ома получим для внешнего участка цепи U = IR и для внутреннего U 0 = I r. А так как э.д.с. равна сумме напряжений на отдельных участках цепи, то

Е = U + U 0 = IR + Ir

. (1.7)

Выражение (1. 7) является законом Ома для всей цепи: сила тока в цепи прямо пропорциональна э.д.с. источника.

Из выражения E = U + следует, что U = E - Ir , т.е. при наличии тока в цепи напряжение на ее зажимах меньше э.д.с. источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении r источника.

Измерить напряжения (вольтметром) на различных участках цепи можно только при замкнутой цепи. Э.д.с. же измеряют между зажимами источника при разомкнутой цепи, т.е. при холостом ходе, когда I ток в цепи равен нулю в этом случае E = U.

1.6. СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ

При расчете цепей приходится сталкиваться с различными схемами соединений потребителей. В случае цепи с одним источником часто получается смешанное соединение, составляющее собой комбинацию параллельного и последовательного соединений, известных из курса физики. Задача расчета такой цепи состоит в том, чтобы при известных сопротивлениях потребителей определить токи, протекающие через них, напряжения, мощности на них и мощность всей цепи (всех потребителей).

Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называется последовательным соединением участков цепи. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким участкам, называют контуром электрической цепи. Например, цепь, показанная на рис. 4 является одноконтурной.

Рассмотрим различные способы соединения сопротивлений более подробно.

1.6.1 Последовательное соединение сопротивлений

Если два или несколько сопротивлений соединены, как показано на рис. 5, одно за другим без разветвлений и по ним проходит один и тот же ток, то такое их соединение называют последовательным.

По закону Ома можно определить напряжения на отдельных участках цепи (сопротивлениях)

U 1 = IR 1 ; U 2 = IR 2 ; U 3 = IR 3 .

Так как ток во всех участках имеет одинаковое значение, то напряжения на участках пропорциональны их сопротивлениям, т.е.

U 1 /U 2 = R 1 / R 2 ; U 2 /U 3 = R 2 / R 3 .

Мощности отдельных участков соответственно равны

P 1 = U 1 I ; P 2 = U 2 I ; P 3 = U 3 I .

А мощность всей цепи, равная сумме мощностей отдельных участков, определяется как

P = P 1 + P 2 + P 3 = U 1 I + U 2 I + U 3 I = (U 1 + U 2 + U 3)I = UI ,

откуда следует, что напряжение на зажимах цепи U равно сумме напряжений на отдельных участках

U =U 1 + U 2 + U 3 .

Разделив правую и левую части последнего уравнения на ток, получим

R = R 1 + R 2 +R 3 .

Здесь R = U/I - сопротивление всей цепи, или, как его часто называют, эквивалентное сопротивление цепи, т.е. такое равноценное сопротивление, заменяя которым все сопротивления цепи (R 1 , R 2 , R 3) при неизменном напряжении на ее зажимах, получим то же самое значение тока.

1.6.2. Параллельное соединение сопротивлений

Параллельным соединением сопротивлений называется соединение (рис. 6), при котором один зажим каждого из сопротивлений присоединяется к одной точке электрической цепи, а другой зажим каждого из тех же сопротивлений присоединяется к другой точке электрической цепи. Таким образом, между двумя точкам электрической цепи будет включено несколько сопротивлений. образующих параллельные ветви.

Так как при этом напряжение на всех ветвях будет одним и тем же, то токи в ветвях могут быть разными, в зависимости от величин отдельных сопротивлений. Эти токи можно определить по закону Ома:

Напряжения между точками разветвления (А и Б рис.6)

Поэтому как лампы накаливания, так и двигатели, предназначенные для работы при определенном (номинальном) напряжении, всегда включаются параллельно.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Пусть имеется некоторый участок цепи (рис. 1.7), крайние точки которого обозначены буквами а и b. Пусть ток I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки а(φ a) выше потенциала точки b(φ b) на значение, равное произведению тока I на сопротивление R : φ a =φ b +IR.

Рис. 1.7

В соответствии с определением напряжение между точками а и b U ab = φ a - φ b .

Следовательно, U ab =IR , т.е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на значение этого сопротивления.

В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения.

Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.

Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащей кроме сопротивления R , ЭДС Е (рис. 1.8, а , б). Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и с для этих участков. По определению U a с = φ a - φ с . Выразим потенциал точки а через потенциал точки с . При перемещении от точки с к точке b встречно направлению ЭДС Е (см. рис. 1.8, а ) потенциал точки b оказывается меньше, чем потенциал точки с , на значение ЭДС Е: φ b = φ c -E . При перемещении от точки с к точке b согласно направлению ЭДС Е (рис.1.8, б ) потенциал точки b больше, чем потенциал точки с ,на значение ЭДС: φ b = φ c +E .

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R :φ а = φ b +IR .

а) б )

Рис. 1.8

Таким образом, для рис. 1.8, а :

(1.1)

для рис. 1.8, б:

(1.2)

Положительное направление напряжения U a с показывают стрелкой от а к с . Согласно определению, U са = φ с - φ а, поэтому U ас =-U са, т.е. изменение чередования индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть как положительной величиной, так и отрицательной.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС Е, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис.1.7

Или . (1.3)

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС Е , позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов (φ a - φ с) на концах этого участка цепи и имеющейся на участке ЭДС Е.

Так, из уравнения (1.1) для схемы рис.1.8, а следует

.

Из уравнения (1.2) для схемы рис.1.8, б следует:

.

В общем случае

. (1.4)

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к какому-либо узлу схемы, равна нулю;

2) сумма подтекающих клюбому узлу токов равна сумме утекающихот этого узла токов.

Рис. 1.9

Применительно к рис.1.9, если подтекающие токи к узлу считать положительными, а вытекающие - отрицательными, то согласно первой формулировке I 1 -I 2 -I 3 -I 4 = 0; согласно второй I 1 =I 2 +I 3 +I 4 . Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение электрических зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулироватьдвояко:

1) алгебраическая сумма падений напряженияв любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:

, (1.5)

где m - число резистивных элементов; п – число ЭДС в контуре (в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура

где т - число элементов контура.

Второй закон Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура в безвихревом поле.

Законы Кирхгофа справедливы длялинейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания. Если направление тока I , протекающего через источник ЭДС E , совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени, равную EI , и произведение ЕI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком. Если же направление тока I встречно ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение ЕI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком. Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

. (1.7)

В случае питания электрической цепи не только источниками ЭДС, но и источниками тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Предположим, что к узлу а схемы подтекает ток J от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна U а b J. Общий вид уравнения энергетического баланса:

1.4. Эквивалентные преобразования пассивных участков

электрической цепи

При наличии в цепи только одного источника энергии в большинстве случаев цепь можно рассматривать как смешанное соединение источника и приемников энергии, т.е. нескольких резисторов, соединенных между собой параллельно, включенных последовательно с другими сопротивлениями (рис.1.10). Расчет смешанного соединения целесообразно начинать с определения эквивалентной проводимости параллельного соединения, а на основании этой проводимости легко найти обратную величину - эквивалентное сопротивление разветвления R . Для схемы, приведенной на рис. 1.10, а :

После замены разветвления эквивалентным сопротивлением (рис. 1.10, б ) цепь можно рассчитывать как последовательное соединение; ток в неразветвленной части цепи:

а) б )

Рис. 1.10

В ряде случаев расчет сложной схемы, состоящей из линейных сопротивлений, существенно упрощается, если в этой схеме заменить группу сопротивлений другой эквивалентной группой, в которой сопротивления соединены иначе, чем в замещаемой группе. Взаимная эквивалентность двух групп сопротивлений выразится в том, что после замены электрические условия во всей остальной схеме не изменятся.

Рассмотрим преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющих вид трехлучевой звезды, называют звездой (рис. 1.11), а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника, - треугольником (рис.1.12). Обозначим токи, подтекающие к узлам 1 , 2 , 3 , через I 1 , I 2 и I 3 . Выведем формулы преобразования. С этой целью выразим токи I 1 , I 2 и I 3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Рис. 1.11

Для звезды:

, (1.9)

; ; , (1.10)

гдеφ о, φ 1 , φ 2, φ 3 - потенциалы в точках 0 , 1 , 2 , 3 соответственно. Подставим (1.10) в (1.9) и найдем φ 0 :

. (1.11)

Подставим j о в выражение (1.10) для тока I 1:

. (1.12)

С другой стороны, для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 1.12

Современная физика знает много видов энергии, связанных с движением или различным взаимным расположением самых разнообразных материальных тел или частиц, например, всякое движущееся тело обладает кинетической энергией, пропорциональной квадрату его скорости. Эта энергия может изменяться, если скорость тела будет возрастать или убывать. Тело, приподнятое над землей, имеет потенциальную гравитационную энергию, изменяющуюся три изменении высоты тела.

Неподвижные электрические заряды, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, обладают потенциальной электростатической энергией в соответствии с тем, что по закону Кулона заряды либо притягиваются (если они разного знака), либо отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Кинетической и потенциальной энергией обладают и молекулы, и атомы, и частицы, их составляющие - электроны, протоны, нейтроны и т. д. В зависимости от характера движения и природы сил, действующих между этими частицами, изменение энергии в системах таких частиц может проявляться в форме механической работы, в протекании электрического тока, в передаче теплоты, в изменении внутреннего состояния тел, в распространении электромагнитных колебаний и т. п.

Уже более 100 лет назад в физике был установлен фундаментальный закон, в соответствии с которым энергия не может исчезать или возникать из ничего. Она может лишь переходить из одного вида в другой . Этот закон называется законом сохранения энергии .

В трудах А. Эйнштейна этот закон получил существенное развитие. Эйнштейн установил взаимопревращаемость энергии и массы и тем самым расширил толкование закона сохранения энергии, который теперь в общем случае формулируется как закон сохранения энергии и массы .

В соответствии с теорией Эйнштейна всякое изменение энергии тела d Е связано с изменением его массы d m формулой d Е=d mс 2 , где с - скорость света в вакууме, равная 3 х 10 8 м/с.

Из этой формулы, в частности, следует, что если в результате какого-либо процесса масса всех тел, участвующих в процессе, уменьшится на 1 г, то при этом выделится энергия, равная 9х10 13 Дж, что эквивалентно 3000 т условного топлива.

Эти соотношения имеют первостепенное значение при анализе ядерных превращений. В большинстве же макроскопических процессов изменением массы можно пренебречь и говорить лишь о законе сохранения энергии.

Проследим за преобразованиями энергии на каком-нибудь частном примере. Рассмотрим всю цепочку преобразований энергии, необходимую для изготовления какой-либо детали на токарном станке (рис. 1). Пусть исходная энергия 1, количество которой мы примем за 100%, получена за счет полного сжигания некоторого количества природного топлива. Следовательно, для нашего примера 100% исходной энергии содержится в продуктах сгорания топлива, находящихся при высокой (около 2000 К) температуре.

Продукты сгорания в котле электростанции, охлаждаясь, отдают свою внутреннюю энергию в виде теплоты воде и водяному пару. Однако по техническим и экономическим причинам продукты сгорания нельзя охладить до температуры окружающей среды. Они выбрасываются через трубу в атмосферу при температуре около 400 К, унося с собой часть исходной энергии. Поэтому во внутреннюю энергию водяного пара перейдет только 95% исходной энергии.

Полученный водяной пар поступит в паровую турбину, где его внутренняя энергия вначале частично превратится в кинетическую энергию струн пара, которая затем будет отдана в виде механической энергии ротору турбины.

Только часть энергии пара может быть превращена в механическую энергию. Остальная часть отдается охлаждающей воде при конденсации пара в конденсаторе. В нашем примере мы приняли, что энергия, переданная ротору турбины, составит около 38%, что примерно соответствует положению дел на современных электростанциях.

При преобразовании механической энергии в электрическую за счет так называемых джоулевых потерь в обмотках ротора и статора электрогенератора будет потеряно еще около 2% энергии. В результате в электрическую сеть поступит около 36% исходной энергии.

Электродвигатель превратит в механическую энергию вращения токарного станка только часть подведенной к нему электроэнергии. В нашем примере около 9% энергии в виде джоулевой теплоты в обмотках двигателя и теплоты трения в его подшипниках будет отдано в окружающую атмосферу.

Таким образом, к рабочим органам станка окажется подведенным только 27% исходной энергии. Но и на этом злоключения энергии не заканчиваются. Оказывается, что подавляющая часть энергии при механической обработке детали расходуется на трение и в виде теплоты отводится с жидкостью, охлаждающей деталь. Теоретически на то, чтобы из исходной заготовки получить нужную деталь, хватило бы лишь весьма малой доли (в нашем примере условно принято 2%) исходной энергии.

Рис. 1. Схема преобразований энергии при обработке детали на токарном станке: 1 - потеря энергии с уходящими газами, 2 - внутренняя энергия продуктов сгорания, 3 - внутренняя энергия рабочего тела - водяного пара, 4 - теплота, отдаваемая охлаждающей воде в конденсаторе турбины, 5 - механическая энергия ротора турбогенератора, 6 - потери в электрогенераторе, 7 - потерн в электроприводе станка, 8 - механическая энергия вращения станка, 9 - работа трения, превращающаяся в теплоту, отдаваемую жидкости, охлаждающей деталь, 10 - увеличение внутренней энергии детали и стружки после обработки.

Из рассмотренного примера, если его считать достаточно типичным, можно сделать по крайней мере три очень полезных вывода.

Во-первых, на каждой ступеньке преобразования энергии какая-то часть ее теряется . Это утверждение не следует понимать как нарушение закона сохранения энергии. Теряется она для того полезного эффекта, ради которого соответствующее преобразование осуществляется. Полное количество энергии после преобразования остается неизменным.

Если в некоторой машине или аппарате осуществляется процесс преобразования и передачи энергии, то эффективность этого устройства обычно характеризуют коэффициентом полезного действия (к. п. д.) . Схема такого устройства показана на рис. 2.

Рис. 2. Схема для определения к. п. д. устройства, преобразующего энергию.

Пользуясь обозначениями, приведенными на рисунке, к. п. д. можно определить как кпд = Епол/ Епод

Ясно, что при этом на основании закона сохранения энергии должно быть Епод = Епол + Епот

Поэтому к. п. д. можно записать еще и так: кпд = 1 - (Епот/Епол)

Возвращаясь к примеру, изображенному на рис. 1, можно сказать, что к. п. д. котла равен 95%, к. п. д. преобразования внутренней энергии пара в механическую работу - 40%, к. п. д. электрогенератора - 95%, к. п. д. электропривода станка - 75% и к. п. д. собственно процесса обработки детали около 7%.

В прошлом, когда законы превращения энергии еще не были известны, мечтой людей было создание так называемого вечного двигателя - устройства, которое совершало бы полезную работу, не затрачивая никакой энергии. Такой гипотетический двигатель, существование которого нарушало бы закон сохранения энергии, сегодня называют вечным двигателем первого рода в отличие от вечного двигателя второго рода. Сегодня, разумеется, никто не принимает всерьез возможность создания вечного двигателя первого рода.

Во-вторых, все потери энергии в конечном итоге превращаются в теплоту, которая отдается либо атмосферному воздуху, либо воде естественных водоемов.

В-третьих, в конечном счете люди полезно используют лишь малую часть той первичной энергии, которая была затрачена для получения соответствующего полезного эффекта.

Это особенно очевидно при рассмотрении затрат энергии на транспорт. В идеализированной механике, не учитывающей сил трения, перемещение грузов в горизонтальной плоскости не требует затрат энергии.

В реальных условиях вся энергия, потребляемая транспортным средством, затрачивается на преодоление сил трения и сил сопротивления воздуха, т. е. в конечном счете вся энергия, потребляемая на транспорте, превращается в теплоту. В этом отношении любопытны следующие цифры, характеризующие работу перемещения 1 т груза на расстояние 1 км различными видами транспорта: самолет - 7,6 кВт-ч/(т-км), автомобиль - 0,51 кВт-ч/(т-км), поезд - 0,12 кВт-ч/(т-км).

Таким образом, один и тот же полезный эффект может быть достигнут при воздушном транспорте за счет в 60 раз больших затрат энергии, чем при железнодорожном. Конечно, большая затрата энергии дает существенную экономию во времени, но даже и при одинаковой скорости (автомобиль и поезд) затраты энергии различаются в 4 раза.

Этот пример говорит о том, что люди часто поступаются энергетической экономичностью ради достижения иных целей, например комфорта, скорости и т. п. Как правило, сама по себе энергетическая экономичность того или иного процесса нас мало интересует - важны суммарные технико-экономические оценки эффективности процессов. Но по мере удорожания первичных источников энергии энергетическая составляющая в технико-экономических оценках становится все более важной.

2.12.1 Сторонний источник электромагнитного поля и электрического тока в электрической цепи.

☻ Сторонний источник является такой составной частью электрической цепи, без которой электрический ток в цепи не возможен. Это делит электрическую цепь на две части, одна из которых способна проводить ток, но не возбуждает его, а другая “сторонняя”– проводит ток и возбуждает его. Под действием ЭДС стороннего источника в цепи возбуждается не только электрический ток, но и электромагнитное поле, причем то и другое сопровождается при этом передачей энергии от источника в цепь.

2.12.2 Источник ЭДС и источник тока.

☻ Сторонний источник в зависимости от своего внутреннего сопротивления может быть источником ЭДСили источником тока

Источник ЭДС:
,

не зависит от.

Источник тока:
,

не зависит от.

Таким образом, любой источник, который выдерживает стабильное напряжение в цепи при изменении в ней тока, может рассматриваться как источник ЭДС. Это относится и к источникам стабильного напряжения в электрических сетях. Очевидно, условия
или
для реальных сторонних источников следует рассматривать как идеализированные приближения, удобные для анализа и расчета электрических цепей. Так при
взаимодействие стороннего источника с цепью определяется простыми равенствами

,
,
.

Электромагнитное поле в электрической цепи.

☻ Сторонние источники являются либо накопителями, либо генераторами энергии. Передача энергии источниками в цепь происходит только через электромагнитное поле, которое возбуждается источником во всех элементах цепи, независимо от их технических особенностей и прикладного значения, а также от сочетания физических свойств в каждом из них. Именно электромагнитное поле является тем первичным фактором, который задает распределение энергии источника по элементам цепи и определяет физические процессы в них, в том числе и электрический ток.

2.12.4 Сопротивление в цепях постоянного и переменного тока.

Рис 2.12.4

Обобщенные схемы одноконтурных цепей постоянного и переменного тока.

☻ В простых одноконтурных цепях постоянного и переменного тока зависимость тока от ЭДС источника можно выразить подобными формулами

,
.

Это дает возможность и сами цепи представить подобными схемами, как это показано на рис.2.12.4.

Важно подчеркнуть, что в цепи переменного тока величина означает не активное сопротивление цепи, а импеданс цепи, который превосходит активное сопротивление по той причине, что индуктивные и емкостные элементы цепи оказывают переменному току дополнительное реактивное сопротивление, так что

,

,
.

Реактивные сопротивления иопределяются частотой переменного тока, индуктивностьюиндуктивных элементов (катушек) и емкостьюемкостных элементов (кондесаторов).

2.12.5 Фазовый сдвиг

☻ Элементы цепи с реактивными сопротивлениями вызывают в цепи переменного тока особое электромагнитное явление- сдвиг по фазе между ЭДС и током

,
,

где - фазовый сдвиг, возможные значения которого определяются уравнением

.

Отсутствие фазового сдвига возможно в двух случаях, когда
или когда емкостные и индуктивные элементы в цепи отсутствуют. Фазовый сдвиг затрудняет вывод мощности источника в электрическую цепь.

2.12.6 Энергия электромагнитного поля в элементах цепи.

☻ Энергия электромагнитного поля в каждом элементе цепи состоит из энергии электрического поля и энергии магнитного поля

.

Однако элемент цепи может быть так выполнен, что для него одно из слагаемых этой суммы будет доминирующим, а другое – не существенным. Так при характерных частотах переменного тока в конденсаторе
, а в катушке, наоборот,
. Поэтому можно считать, что конденсатор является накопителем энергии электрического поля, а катушка-накопителем энергии магнитного поля и для них соответственно

,
,

где учтено, что для конденсатора
, а для катушки
. Две катушки в одной цепи могут быть индуктивно независимыми или же индуктивно связанными через свое общее магнитное поле. В последнем случае энергия магнитных полей катушек дополняется энергией их магнитного взаимодействия

,

,
.

Коэффициент взаимной индукции
зависит от степени индуктивной связи между катушками, в частности от их взаимного расположения. Индуктивная связь может быть не существенной или отсутствовать полностью, тогда
.

Характерным элементом электрической цепи является резистор сопротивлением . Для него энергия электромагнитного поля
, т.к.
. Поскольку в резисторе энергия электрического поля испытывает необратимое превращение в энергию теплового движения, то для резистора

,

где количество теплоты соответствует закону Джоуля-Ленца.

Особым элементом электрической цепи является ее электромеханический элемент, способный при прохождении через него электрического тока выполнять механическую работу. Электрическим током в подобном элементе возбуждается сила или момент силы, под действием которых происходят линейные или угловые перемещения самого элемента или его частей относительно друг друга. Эти механические явления, связанные с электрическим током, сопровождаются превращением энергии электромагнитного поля в элементе в его механическую энергию, так что

где работа
выражается в соответствии с ее механическим определением.

2.12.7 Закон сохранения и превращения энергии в электрической цепи.

☻ Сторонний источник является не только источником ЭДС, но и источником энергии в электрической цепи. За время
от источника в цепь поступает энергия, равная работе ЭДС источника

где
- мощность источника, или что тоже, интенсивность поступления энергии от источника в цепь. Энергия источника превращается в цепи в другие виды энергии. Так в одноконтурной цепи
с механическим элементом работа источника сопровождается изменением энергии электромагнитного поля во всех элементах цепи в полном соответствии с энергетическим балансом

Данное уравнение для рассматриваемой цепи выражает законы сохранения энергии. Из него следует

.

После соответствующих подстановок уравнение баланса мощности можно представить в виде

.

Это уравнение в обобщенной форме выражает закон сохранения энергии в электрической цепи на основе понятия мощности.

Закон

Кирхгофа

☻ После дифференцирования и сокращения тока из представленного закона сохранения энергии как следствии вытекает закон Кирхгофа

где в замкнутом контуре перечисленные напряжения на элементах цепи означают

,
,

,
,
.

2.12.9 Применение закона сохранения энергии для расчета электрической цепи.

☻ Приведенные уравнения закона сохранения энергии и закона Кирхгофа относятся только к квазистационарным токам, при которых цепь не является источником излучения электромагнитного поля. Уравнение закона сохранения энергии позволяет в простой и наглядной форме анализировать работу многочисленных одноконтурных электрических цепей как переменного, так и постоянного тока.

Полагая константы
равными нулю по отдельности или в их сочетании, можно рассчитывать разные варианты электрических цепей, в том числе при
и
. Ниже рассматриваются некоторые варианты расчета таких цепей.

2.12.10 Цепь
при

☻ Одноконтурная цепь, в которой через резистор заряжается конденсатор от источника с постоянной ЭДС (
). Принимается:
,
,
, а также
при
. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи может быть записан в следующих равнозначных вариантах

,

,

.

Из решения последнего уравнения следует:

,
.

2.12.11 Цепь
при

☻ Одноконтурная цепь, в которой источник постоянной ЭДС (
) замыкается на элементы и. Принимается:
,
,
, а также
при
. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи можно представить в следующих равнозначных вариантах

,

,

.

Из решения последнего уравнения следует

.

2.12.12 Цепь
при
и

☻ Одноконтурная цепь без источника ЭДС и без резистора, в которой заряженный конденсатор замыкается на индуктивный элемент. Принимается:
,
,
,
,
, а также при

и
. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи с учетом того, что

,

,

.

Последнее уравнение соответствует свободным незатухающим колебаниям. Из его решения следует

,
,

,
,
.

Данная цепь является колебательным контуром.

2.12.13 Цепь RLC при

☻ Одноконтурная цепь без источника ЭДС, в которой заряженный конденсатор С замыкается на элементы цепи R и L. Принимается:
,
, а также при

и
. При таких условиях законно закон сохранения энергии для данной цепи с учетом того, что
, может быть записан в следующих вариантах

,

,

.

Последнее уравнение соответствует свободным затухающим колебаниям. Из его решения следует

,

,
,
,
.

Данная цепь является колебательным контуром с диссипативным элементом – резистором, из-за которого общая энергия электромагнитного поля в ходе колебаний убывает.

2.12.14 Цепь RLC при

☻ Одноконтурная цепь RCL представляет собой колебательный контур с диссипативным элементом. В цепи действует переменная ЭДС
и возбуждает в ней вынужденные колебания, в том числе и резонанс.

Принимается:
. При этих условиях закон сохранения энергии может быть записан в нескольких равнозначных вариантах.

,

,

,

Из решения последнего уравнения следует, что колебания тока в цепи являются вынужденными и происходят с частотой действующей ЭДС
, но со сдвигом фаз по отношению к ней, так что

,

где – фазовый сдвиг, значение которого определяется уравнением

.

Поступающая в цепь от источника мощность переменна

Усредненное значение этой мощности по одному периоду колебаний определяется выражением

.

Рис 2.12.14

Резонанс зависимости

Таким образам выводимая из источника в цепь мощность определяется фазовым сдвигом. Очевидно при его отсутствии указанная мощность становиться максимальной и это соответствует резонансу в цепи. Он достигается потому, что сопротивление цепи при отсутствии фазового сдвига принимает минимальное значение, равное только активному сопротивлению.

.

Отсюда следует, что при резонансе выполняются условия.

,
,
,

где – резонансная частота.

При вынужденных колебаниях тока его амплитуда зависит от частоты

.

Резонансное значение амплитуды достигается при отсутствии фазового сдвига, когда
и
. Тогда

,

На рис. 2.12.14 показана резонансная кривая
при вынужденных колебаниях в цепиRLC.

2.12.15 Механическая энергия в электрической цепях

☻ Механическая энергия возбуждается особыми электромеханическими элементами цепи, которые при прохождении по ним электрического тока выполняют механическую работу. Это могут быть электрические двигатели, электромагнитные вибраторы и др. Электрическим током в этих элементах возбуждаются силы или моменты сил, под действием которых происходят линейные, угловые или колебательные перемещения, при этом электромеханический элемент становиться носителем механической энергии

Варианты технической реализации электромеханических элементов практически безграничны. Но в любом случае происходит одно и тоже физическое явление – превращение энергии электромагнитного поля в механическую энергию

.

Важно подчеркнуть, что это превращение происходит в условиях электрической цепи и при безусловном выполнении закона сохранения энергии. Следует учесть, что электромеханический элемент цепи при любом своем назначении и техническом исполнении является накопителем энергии электромагнитного поля
. Она накапливается на внутренних емкостных или индуктивных частях электромеханического элемента, между которыми и возбуждается механическое взаимодействие. При этом механическая мощность электромеханического элемента цепи определяется не энергией
, а производной по времени от нее, т.е. интенсивностью ее измененияР внутри самого элемента

.

Таким образом, в случае простой цепи, когда сторонний источник ЭДС замкнут только на электромеханический элемент, закон сохранения энергии представляется в виде

,

,

где учтены неизбежные необратимые тепловые потери мощности стороннего источника. В случае более сложной цепи, в которой есть дополнительные накопители энергии электромагнитного поля W , закон сохранения энергии записывается в виде

.

Учитывая, что
и
, последнее уравнение можно записать в виде

.

В простой цепи
и тогда

.

Более строгий подход требует учета процессов трения, которые дополнительно уменьшают полезную механическую мощность электромеханического элемента цепи.