a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

Матрица системы

Разрешенная система имеет вид: (r A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x 2 – свободная переменная): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и, т.о., векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно независимы.

Задания. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.

Векторы, их свойства и действия с ними

Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство.

Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел.

Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х

Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным.

Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой.

Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.

Суммой двух векторов и называется вектор, направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть

Покажем, что

Из рисунка 3 видно, что

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Свойства операции сложения векторов:

В этих выражениях m, n - числа.

Разностью векторов и называют вектор Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине.

Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения

Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают или просто. Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид

Вектор, имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде

где r 2 - радиус-вектор точки В; r 1 - радиус-вектор точки А.

Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид

Его длина равна расстоянию между точками А и В

УМНОЖЕНИЕ

Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {ax; ay} на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}

Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax; ay; az} на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b; az · b}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2.

2 · a = {2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)} = {2; 4; -10}

Скалярное произведение векторов и где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что

где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Угол между векторами - угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

Векторное произведение(Векторное произведение двух векторов.)- это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся - векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности»

Коллинеарность векторов.

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним - «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Сме́шанное произведе́ние векторов(a, b,c) - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами(a,b,c) .

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, чтоСмешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и:

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и, взятому со знаком "минус":

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл - Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Компланарность векторов.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Свойства компланарности

Если хотя бы один из трёх векторов - нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов. Это - критерий компланарности трёх векторов.

Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.

В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис

Линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Линейно зависимые и независимые системы векторов. Определение . Система векторов называется линейно зависимой , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми .

Теорема (критерий линейной зависимости) . Для того чтобы система век торов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

В самом деле, если, например, , то, полагая , имеем нетривиальную линейную комбинацию .▲

2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система линейно зависима.

Действительно, пусть векторы , , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая , получим также нетривиальную линейную комбинацию , равную нулевому вектору.

2. Базис и размерность. Определение . Система линейно независимых векторов векторного пространства называетсябазисом этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа такие, что имеет место равенство Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа называютсякоординатами вектора относительно базиса (или в базисе ) .

Теорема (о единственности разложения по базису) . Каждый вектор пространства может быть разложен по базису единственным образом, т.е. координаты каждого вектора в базисе определяются однозначно.

Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.

.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

.

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.

.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

.

Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.

Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.

Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов

.

Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.

.

Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.

Базис, координаты

Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .

Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.

Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.

Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .

Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.

Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .

Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .

Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.

Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:

Это соотношение является разложением вектора из по базису
с координатами .

Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов

.

Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.

.

Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .

Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .

Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы.

Допустим . Тогда

Следовательно вектор x линейно зависим из векторов этой группы.

Векторы x , y , ..., z называются линейно независимыми векторами , если из равенства (0) следует, что

α=β= ...= γ=0.

То есть группы векторов линейно независимы, если ни один вектор не может быть представлен линейной комбинацией других векторов этой группы.

Определение линейной зависимости векторов

Пусть заданы m векторов строк порядка n:

Сделав Гауссово исключение , приведем матрицу (2) к верхнему треугольному виду. Элементы последнего столбца изменяются только тогда, когда строки переставляются. После m шагов исключения получим:

где i 1 , i 2 , ..., i m - индексы строк, полученные при возможной перестановки строк. Рассматривая полученные строки из индексов строк исключаем те, которые соответствуют нулевым вектором строк. Оставшиеся строки образуют линейно независимые векторы. Отметим, что при составлении матрицы (2) изменяя последовательность векторов строк, можно получить другую группу линейно независимых векторов. Но подпространство, которую оба эти группы векторов образуют совпадают.

Определение 1 . Линейной комбинацией векторовназывается сумма произведений этих векторов на скаляры
:

Определение 2 . Система векторов
называется линейно зависимой системой, если линейная комбинация их (2.8) обращается в нуль:

причем среди чисел
существует хотя бы одно, отличное от нуля.

Определение 3 . Векторы
называются линейно независимыми, если их линейная комбинация (2.8) обращается в нуль лишь в случае, когда все числа.

Из этих определений можно получить следующие следствия.

Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.

Доказательство . Пусть выполнено (2.9) и пусть для определенности, коэффициент
. Имеем тогда:
. Заметим, что справедливо и обратное утверждение.

Следствие 2. Если система векторов
содержит нулевой вектор, то эта система (обязательно) линейно зависима – доказательство очевидно.

Следствие 3 . Если средиn векторов
какие либоk (
) векторов линейно зависимы, то и всеn векторов линейно зависимы (опустим доказательство).

2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.

Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Необходимость . Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их линейная комбинация
=0 и (ради определенности)
. Отсюда следует равенство
, и (по определению умножения вектора на число) векторыиколлинеарны.

Достаточность . Пусть векторыиколлинеарны (║) (предполагаем, что они отличны от нулевого вектора; иначе их линейная зависимость очевидна).

По теореме (2.7) (см. §2.1,п.2 0) тогда
такое, что
, или
– линейная комбинация равна нулю, причем коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.

Из этой теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие . Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.

Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Необходимость . Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они компланарны.

Из определения линейной зависимости векторов следует существование чисел
итаких, что линейная комбинация
, и при этом (для определенности)
. Тогда из этого равенства можно выразить вектор:=
, то есть векторравен диагонали параллелограмма, построенного на векторах, стоящих в правой части этого равенства (рис.2.6). Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.

Достаточность . Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно зависимы.

Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.

Перенесем три компланарных вектора в одну плоскость и приведем их к общему началу. Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторами; получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено тем, что векторыине коллинеарные по предположению векторы. Отсюда следует, что вектор=+. Переписав это равенство в виде (–1)++=0, заключаем, что векторы,илинейно зависимы.

Из доказанной теоремы вытекает два следствия.

Следствие 1 . Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости, определяемой векторамии, вектор. Существуют тогда числаитакие, что

=+. (2.10)

Следствие 2 . Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.

Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.

Следствие . Для любых некомпланарных векторов,,и любого вектора
итакие, что

. (2.11)

Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.

Пусть имеются два линейно зависимых вектора и. В таком случае один из них является линейной комбинацией второго, то есть просто отличается от него численным множителем (например,
). Геометрически это означает, что оба вектора находятся на общей прямой; они могут иметь одинаковое или противоположное направления (рис.2.8 хх).

Если же два вектора расположены под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число – такие векторы линейно независимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов иозначает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую.

Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.

Пусть векторы ,илинейно зависимы и пусть (для определенности) векторявляется линейной комбинацией векторови, то есть расположен в плоскости, содержащей векторыи. Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно зависимы.

Таким образом, векторы ,илинейно независимы в том и только в том случае, если они не лежат в одной плоскости.

3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.

Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.

Определение 2. Упорядоченная пара,неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости, определяемой заданными векторами.

Теорема 1 . Всякий векторна плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,:

(2.12)

и это представление единственно.

Доказательство . Пусть векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде
.

Для доказательства единственности предположим, что имеется еще одно разложение
. Имеем тогда=0, причем хотя бы одна из разностей отлична от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны; это противоречит утверждению, что они образуют базис.

Но тогда – разложение единственно.

Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.

Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.

Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.

Теорема 2 . Любой векторможет быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,,:

(2.13)

и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).

В разложениях (2.12) и (2.13) величины называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными координатами).

При фиксированном базисе
и
можно писать
.

Например, если задан базис
и дано, что
, то это означает, что имеет место представление (разложение)
.

4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.

Пусть задан некоторый базис
. Очевидно, задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор. Имеют место следующие предложения:

а) два вектора
и
равны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты:

б) при умножении вектора
на числоего координаты умножаются на это число:

; (2.15)

в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:

Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем

==

Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.

Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.

Пример 1 . В базисной системе
заданы три вектора:
,
и
. В базисе,,векторимеет разложение. Найти координаты векторав базисе
.

Решение . Имеем разложения:
,
,
; следовательно,
=
+2
+
= =
, то есть
в базисе
.

Пример 2 . Пусть в некотором базисе
четыре вектора заданы своими координатами:
,
,
и
.

Выяснить, образуют ли векторы
базис; в случае положительного ответа найти разложение векторав этом базисе.

Решение . 1) векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов
(
) и выясним, при каких
иона обращается в нуль:
=0. Имеем:

=
+
+
=

По определению равенства векторов в координатной форме получим следующую систему (линейных однородных алгебраических) уравнений:
;
;
, определитель которой
=1
, то есть система имеет (лишь) тривиальное решение
. Это означает линейную независимость векторов
и, следовательно, они образуют базис.

2) разложим вектор в этом базисе. Имеем:=
или в координатной форме.

Переходя к равенству векторов в координатной форме, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений:
;
;
. Решая ее (например, по правилу Крамера), получим:
,
,
и (
)
. Имеем разложение векторав базисе
:=.

5 0 . Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Пусть имеется некоторая осьl , то есть прямая с выбранным на ней направлением и пусть задан некоторый вектор.Определим понятие проекции векторана осьl .

Определение . Проекцией векторана осьl называется произведение модуля этого вектора на косинус угла между осьюl и вектором (рис.2.10):

. (2.17)

Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).

Отметим свойства проекций.

1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:

=
. (2.19)

Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:

Доказательства свойств опустим.

6 0 . Прямоугольная декартова система координат в пространстве .Разложение вектора по ортам осей. Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных орта; для них вводим специальные обозначения
. Поместив их начала в точкуO , направим по ним (в соответствии с ортами
) координатные осиOx ,Oy иOz (ось с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчета и единицей длины называется координатной осью).

Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.

Займемся разложением произвольного вектора по базису
. Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует, что
может быть и единственным образом разложен по базису
(здесь вместо обозначения координат
употребляют
):

. (2.21)

В (2.21)
суть (декартовы прямоугольные) координаты вектора. Смысл декартовых координат устанавливает следующая теорема.

Теорема . Декартовы прямоугольные координаты
вектораявляются проекциями этого вектора соответственно на осиOx ,Oy иOz .

Доказательство. Поместим векторв начало системы координат – точкуO . Тогда его конец будет совпадать с некоторой точкой
.

Проведем через точку
три плоскости, параллельные координатным плоскостямOyz ,Oxz иOxy (рис.2.11 хх). Получим тогда:

. (2.22)

В (2.22) векторы
и
называются составляющими вектора
по осямOx ,Oy иOz .

Пусть через
иобозначены соответственно углы, образованные векторомс ортами
. Тогда для составляющих получим следующие формулы:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

– координаты
вектораесть проекции этого вектора на координатные осиOx ,Oy иOz соответственно.

Замечание . Числа
называются направляющими косинусами вектора.

Модуль вектора (диагональ прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле:

. (2.24)

Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:

– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).

7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.

Определение . Радиусом-вектором (обозначается) называется вектор, соединяющий начало координатO с этой точкой (рис.2.12 хх):

. (2.27)

Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.

Очевидно, координаты
точкиM являются проекциями ее радиус-вектора
на координатные оси:

(2.28’)

и, таким образом,

(2.28)

– радиус-вектор точки есть вектор, проекции которого на оси координат равны координатам этой точки. Отсюда следует две записи:
и
.

Получим формулы для вычисления проекций вектора
по координатам его начала – точке
и конца – точке
.

Проведем радиус-векторы
и вектор
(рис.2.13). Получим, что

=
=(2.29)

– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.

8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .

1) условия коллинеарности векторов . Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 , формула (2.7)) следует, что для коллинеарности векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:=. Из этого векторного равенства получаем три в координатной форме равенства:, откуда следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:

(2.30)

– для коллинеарности векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

2) расстояние между точками . Из представления (2.29) следует, что расстояние
между точками
и
определяется формулой

=
=. (2.31)

3) деление отрезка в данном отношении . Пусть даны точки
и
и отношение
. Нужно найти
– координаты точкиM (рис.2.14).

Имеем из условия коллинеарности векторов:
, откуда
и

. (2.32)

Из (2.32) получим в координатной форме:

Из формул (2.32’) можно получить формулы для вычисления координат середины отрезка
, полагая
:

Замечание . Будем считать отрезки
и
положительными или отрицательными в зависимости от того, совпадает их направление с направлением от начала
отрезка к концу
, или не совпадает. Тогда по формулам (2.32) – (2.32”) можно находить координат точки, делящей отрезок
внешним образом, то есть так, что делящая точкаM находится на продолжении отрезка
, а не внутри его. При этом конечно,
.

4) уравнение сферической поверхности . Составим уравнение сферической поверхности – геометрического места точек
, равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра – точки
. Очевидно, что в данном случае
и с учетом формулы (2.31)

Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.