Множество степеней свободы

Иерархичность архитектуры/структуры на разных масштабных уровнях

В обычных материалах неоднородность проявляется на атомных размерах, и физика

явлений имеет квантово механическую природу. Говоря об искусственных средах – полимерных КМ, имеются в виду смеси, составленные из таких обычных веществ и имеющие как регулярную, так и случайную, неупорядоченную структуру. Основное внимание будет сосредоточено на явлениях, связанных с такой вторичной неоднородностью. Это означает, что масштаб неоднородности искусственных сред достаточно велик для того, чтобы в каждой точке выполнялись обычные локальные материальные уравнения, свойственные веществу, заполняющему объем вокруг этой точки. Хотя большинство результатов верно и для случая плавного изменения материальных параметров, будет подразумеваться простейшая модель композиционного материала − матрицы, наполненной какими либо включениями.

Структура полимерных КМ

При изготовлении КМ конструкционного назначения основной целью наполнения является получение усиленного полимерного материала, т.е. материала с улучшенным комплексом физико механических свойств. Достигается оно как введением волокнистых армирующих наполнителей, так и тонкодисперсных наполнителей, рубленого стекловолокна, аэросила и др. При создании КМ со специальными свойствами наполнители, как правило, вводятся для того, чтобы придать материалу не механические, а желаемые электрофизические, термические, сенсорные и др. свойства. При этом частицы наполнителя тем или иным способом распределяются в полимерной матрице.

По характеру распределения компонентов композиты можно разделить на матричные системы, статистические смеси и структурированные композиции. В матричных (регулярных) системах частицы наполнителя располагаются в узлах регулярной решетки (а). В статистических системах компоненты распределены хаотично и не образуют регулярных структур (б). К структурированным композитам относят системы, в которых компоненты образуют цепочечные, плоские или объемные, структуры (в,г). На рис. 1 изображены типичные структуры композитов и распределение наполнителя в матрице.

Рис. 1 Структуры композитов и распределение наполнителей в матрице

Топология гетерогенных систем (композитов)

Под топологией КМ понимается форма частиц дисперсной фазы, их размеры, а также распределение дисперсной фазы по объему дисперсионной среды. Сюда также входят размер включений, расстояние между ними, координаты центров включений, угол ориентации в пространстве неизомерных включений (т. е. включений, размер которых в одном либо двух выделенных направлениях намного превышает размер в других направлениях, например волокна, пластины).

Композиционные материалы на основе одноосно ориентированных непрерывных волокон или тканей (рис. 2) легко поддаются анализу. В направлении вдоль волокон (в

Винера) (рис. 3). Здесь σ f и σ m – электропроводность наполнителя и матрицы, p – объемная доля наполнителя. Эти выражения имеют общий характер, поскольку соответствуют эффективной проводимости двухфазной системы при последовательном и параллельном действии фаз и являются оптимальными при условии, что известны лишь объемные доли каждой фазы. Нетрудно показать, что для слоистых композиционных материалов продольная проводимость σ 1 всегда выше, чем проводимость σ 3 в направлении, перпендикулярном слоям. Действительно, для пачки слоев толщиной d i и проводимостью σ i продольная проводимость равна σ 1 = Σd i σ i , а поперечная проводимость 1/σ 3 = Σd i /σ i . Средняя продольная проводимость σ eff ,1 = σ 1 /Σd i . Средняя поперечная проводимость 1/σ eff ,3 = Σd i /σ 3 . Используя неравенство Коши−Буняковского, получаем, что σ eff ,3 < σ eff ,1 .

Рис. 2. Два крайних случая микрогеометрии укладки наполнителя. Электропроводность в направлении, параллельном слоям определяется верхней границей Винера; электропроводность перпендикулярно слоям − нижней границей Винера.

Рис. 3. Зависимость эффективной электропроводности композита σ eff / σ m от концентрации наполнителя для верхней и нижней границы Винера в случае σ f / σ m = 10.

Верхняя и нижняя границы Винера определяют область значений электропроводности КМ при данном соотношении параметров матрицы и наполнителя независимо от формы частиц и способа приготовления КМ. В действительности границы Винера дают слишком грубую оценку проводимости, так как не учитывают топологии композита, контактов между частицами наполнителя и др. факторов, но позволяют оценить диапазон изменения проводимости и других транспортных характеристик (например, теплопроводности) для конкретной пары компонентов КМ.

Некоторые топологические характеристик ряда часто встречающихся структур композиционных материалов приведены в следующей Таблице.

Геометрическая структура гетерогенных систем

Теория перколяции (протекания)

Термин перколяция использовался первоначально для противопоставления диффузии: если в случае диффузии мы имеем дело со случайным блужданием частицы в регулярной среде, то в случае перколяции речь идет о регулярном движении (например, течении жидкости или тока) в случайной среде. Рассмотрим квадратную сетку 3x3. Закрасим часть квадратов черным цветом. В нашем случае их 3. Доля закрашенных квадратов составляет р = 1/3. Можно выбирать квадратики случайно и независимо; можно ввести какие либо правила. В первом случае говорят о случайной перколяции (математики называют ее еще перколяцией Бернулли), во втором - о коррелированной. Одним из основных вопросов, на которые пытается ответить теория перколяции, - при какой доле р с закрашенных квадратов возникает цепочка черных квадратов, соединяющая верхнюю и нижнюю стороны нашей сетки? Легко сообразить, что для сетки конечного размера такие цепочки могут возникать при разных концентрациях (рис. 4). Однако если размер сетки L устремить к бесконечности, то критическая концентрация станет вполне определенной (рис. 5). Это строго доказано. Такую критическую концентрацию называют порогом перколяции .

В случае электропроводящего наполнителя до тех пор, пока не возникнет цепочка проводящих участков, связывающая верх и низ образца, тот будет изолятором. Если рассматривать черные квадраты в качестве молекул, то образование цепочки молекул, пронизывающей всю систему соответствует образованию геля. Если черные квадраты - это микротрещины, то образование цепочки таких трещин приведет к разрушению, раскалыванию образца. Итак, теория перколяции позволяет описать процессы самой разной природы, когда при плавном изменении одного из параметров системы (концентрации чего то) свойства системы меняются скачком. Даже такой простой модели оказывается достаточно, чтобы описать, например, фазовый переход парамагнетик ферромагнетик, процесс распространения эпидемии или лесного пожара.

Рис. 4. Различные варианты заполнения решетки.

Рис. 5. Вероятность возникновения перколяции Р в зависимости от доли заполненных узлов р . Гладкая кривая соответствует решетке конечного размера. ступенчатая - бесконечно большой решетке.

Задачи теории протекания состоят в описании корреляций между соответствующими физическими и геометрическими характеристиками анализируемых сред. Простейшими, и соответственно, наиболее изученными являются структуры, базирующиеся на регулярных решетках. Для них рассматривают обычно задачу узлов и задачу связей, которые возникают когда описываются физические свойства (будем для определенности говорить об электропроводности) решеток, из которых удалена определенная доля (1 p) случайно выбранных узлов (вместе с исходящими из них связями) или доля выбранных случайным образом связей. В задаче связей ищут ответ на вопрос: какую долю связей нужно удалить (перерезать), чтобы сетка распалась на две части? В задаче узлов блокируют узлы (удаляют узел, перерезают все входящие в узел связи) и ищут, при какой доле блокированных узлов сетка распадется. Квадратная сетка является только одной из возможных моделей. Можно рассматривать перколяцию на треугольной, шестиугольной сетках, деревьях, трехмерных решетках, например, кубической, в пространстве с размерностью больше 3. Сетка не обязательно должна быть регулярной. Рассматриваются процессы и на случайных решетках.

Задача узлов (слева) и задача связей (справа) на квадратной решетке.

Цепочка связанных объектов, например черных квадратов, называется в теории перколяции кластер (cluster - англ. - гроздь). Кластер, соединяющий две противоположные стороны системы, называется перколяционным (percolating), бесконечным (infinite), стягивающим (spanning) или соединяющим (connecting).

Перколяционный переход является геометрическим фазовым переходом. Порог перколяции или критическая концентрация разделяет две фазы: в одной фазе существуют конечные кластеры, в другой существует один бесконечный кластер.

Для описания электрических свойств КМ наиболее адекватна перколяционная задача, сформулированная для непрерывной среды. Согласно этой задаче каждой точке пространства с вероятностью р=v f отвечает проводимость σ=σ f и с вероятностью 1 p проводимость σ=σ m . Здесь индекс f обозначает наполнитель (filler), а индекс m матрицу (matrix). Порог протекания (v f * ) в этом случае равен минимальной доле пространства, занятой проводящими областями, при которой система еще является проводящей. При изменении v f в пределах от 0 до 1 электропроводность композита возрастает от σ m до σ f , что обычно составляет 20 порядков, Увеличение σ происходит немонотонно: наиболее резкое ее изменение наблюдается, как правило, в узкой области концентраций наполнителя (см.рис.6), что позволяет говорить о переходе диэлектрик металл или, как его еще называют, перколяционном переходе, при v f , равной порогу протекания. Этот переход представляет собой фазовый переход второго рода.

Рис.6. Зависимость электропроводности КМ полипропилен+алюминий полученных различным способом от объемного содержания алюминия: 1 смешение компонентов в виде порошков с последующим прессованием, 2 полимеризационное наполнение, 3 смешение на вальцах.

Рассмотрим распределение проводимостей в системе при различных содержаниях наполнителя v f . При малых v f все проводящие частицы объединяются в кластеры конечного размера, изолированных друг от друга. По мере увеличения v f средний размер кластеров возрастает и при v f =v f * значительная часть изолированных кластеров сливаются в т.н. бесконечный кластер, пронизывающий всю систему: возникает канал проводимости. Дальнейшее увеличение v f приводит к резкому росту объема бесконечного кластера. Он растет, поглощая конечные кластеры, причем в первую очередь самые большие из них. В результате средний размер конечных кластеров уменьшается.

Изучая топологию бесконечного кластера, исследователи пришли к выводу, что основная его часть сосредоточена в цепочках, заканчивающихся тупиками. Эти цепочки дают вклад в плотность бесконечного кластера и в диэлектрическую проницаемость, но не дают вклад в проводимость. Такие цепочки назвали «мертвыми концами». Бесконечный кластер без мертвых концов был назван скелетом бесконечного кластера. Первой моделью скелета бесконечного кластера была модель Шкловского Де Жена. Она представляет собой нерегулярную решетку со средним расстоянием между узлами, зависящим от близости концентрации наполнителя к порогу протекания.

Вблизи порога протекания проводимость σ с двухкомпонентной смеси с биноминальным распределением частиц равна:

Качественно характер изменения проводимости изображен на следующем рисунке.

В случае анизотропных наполнителей проводящая фаза может состоять из случайно ориентированных анизометрических частиц (волокна, цилиндры) проводимость такого материала всегда изотропна; или же проводящая фаза может состоять из случайно ориентированных частиц с анизотропной собственной проводимостью. Порог протекания для таких наполнителей обычно гораздо ниже, чем для частиц сферической или сфероидной формы, что легко видно из рисунка: в первом случае для перекрывания расстояния между противоположными гранями образца достаточно меньшего количества частиц. Здесь же приведена зависимость порога протекания от коэффициента формы частиц наполнителя – отношения длины l к диаметру d , l/d .

Другой моделью расчета свойств композиционных материалов, является теория эффективной среды, в которой используется принцип самосогласованного поля. Он состоит в том, что при расчете поля внутри микроскопического элемента

Перколяция может наблюдаться как в решетках, так и других геометрических конструкциях, в том числе непрерывных, состоящих из большого числа подобных элементов или непрерывных областей соответственно, которые могут находиться в одном из двух состояний. Соответствующие математические модели называются решеточными или континуальными.

В качестве примера перколяции в непрерывной среде может выступать прохождение жидкости через объемный пористый образец (например, воды через губку из пеноообразующего материала), в котором происходит постепенное надувание пузырьков до тех пор, пока их размеров не станет достаточно для просачивания жидкости от одного края образца до другого.

Индуктивно, понятие перколяции переносится на любые конструкции или материалы, которые называются перколяционной средой, для которой должен быть определен внешний источник протекания, способ протекания и элементы (фрагменты) которой могут находиться в разных состояниях, одно из которых (первичное) не удовлетворяет данному способу прохождения, а другое удовлетворяет. Способ протекания также подразумевает собой определенную последовательность возникновения элементов или изменение фрагментов среды в нужное для протекания состояние, которое обеспечивается источником. Источник же переводит постепенно элементы или фрагменты образца из одного состояния к другому, пока не наступит момент перколяции.

Порог протекания

Совокупность элементов, по которым происходит протекание, называется перколяционным кластером. Будучи по своей природе связным случайным графом, в зависимости от конкретной реализации он может иметь различную форму. Поэтому принято характеризовать его общий размер. Порогом протекания называется количество элементов перколяционного кластера, отнесенное к общему количеству элементов рассматриваемой среды.

Ввиду случайного характера переключений состояний элементов среды, в конечной системе чётко определенного порога (размера критического кластера) не существует, а имеется так называемая критическая область значений, в которую попадают значения порога перколяции, полученные в результате различных случайных реализаций. С увеличением размеров системы область сужается в точку.

2. Область применения теории перколяции

Применения теории перколяции обширны и разнообразны. Трудно назвать область, в которой бы не применялась теория перколяции. Образование гелей, прыжковая проводимость в полупроводниках, распространение эпидемий, ядерные реакции, образование галактических структур, свойства пористых материалов - вот далеко не полный перечень разнообразных приложений теории перколяции. Не представляется возможным дать сколь-нибудь полный обзор работ по приложениям теории перколяции, поэтому остановимся на некоторых из них.

2.1 Процессы гелеобразования

Хотя именно процессы гелеобразования были первыми задачами, где был применен перколяционный подход, эта область еще далеко не исчерпана. Процесс гелеобразования заключается в слиянии молекул. Когда в системе возникают агрегаты, простирающиеся сквозь всю системы, говорят, что произошел переход золь-гель. Обычно считают, что система описывается тремя параметрами - концентрацией молекул, вероятностью образования связей между молекулами и температурой. Последний параметр влияет на вероятность образования связей. Таким образом, процесс гелеобразования можно рассматривать как смешанную задачу теории перколяции. Весьма примечательно, что этот подход используется и для описания магнитных систем. Имеется любопытное направление для развитие этого подхода. Задача гелеобразования белка альбумина имеет важное значение для медицинской диагностики.

Имеется любопытное направление для развитие этого подхода. Задача гелеобразования белка альбумина имеет важное значение для медицинской диагностики. Известно, что молекулы белка имеют вытянутую форму. При переходе раствора белка в фазу геля существенное влияние оказывает не только температура, но и наличие примесей в растворе или на поверхности самого белка. Таким образом, в смешенной задаче теории перколяции необходимо дополнительно учесть анизотропию молекул. В определенном смысле это сближает рассматриваемую задачу с задачей "иголок" и задачей Накамуры. Определение порога перколяции в смешанной задаче для анизотропных объектов - новая задача теории перколяции. Хотя для целей медицинской диагностики достаточно решить задачу для объектов одного типа, представляет интерес исследовать задачу для случаев объектов разной анизотропии и даже разной формы.

2.2 Применение теории перколяции для описания магнитных фазовых переходов

Одной из особенностей соединений на основе и является переход из антиферромагнитного в парамагнитное состояние уже при незначительном отклонении от стехиометрии. Исчезновение дальнего порядка происходит при избыточной концентрации дырок в плоскости , в то же время ближний антиферромагнитный порядок сохраняется в широкой области концентраций х вплоть до сверхпроводящей фазы.

На качественном уровне явление объясняется следующим образом. При допировании дырки появляются на атомах кислорода, что приводит к возникновению конкурирующего ферромагнитного взаимодействия между спинами и подавлению антиферромагнетизма. Резкому снижению температуры Нееля также способствует движение дырки, приводящее к разрушению антиферромагнитного порядка.

С другой стороны, количественные результаты резко расходятся со значениями порога протекания для квадратной решетки, в рамках которой удается описать фазовый переход в изоструктурных материалах. Встает задача видоизменить теорию протекания таким образом, чтобы в рамках описать фазовый переход в слое .

При описании слоя считается, что на каждый атом меди приходится одна локализованная дырка, то есть полагают, что все атомы меди магнитные. Однако, результаты зонных и кластерных расчетов показывают, что в недопированном состоянии числа заполнения меди составляют 0,5 - 0,6, а для кислорода - 0,1-0,2. На качественном уровне этот результат легко понять, анализируя результат точной диагонализации гамильтониана для кластера с периодическими граничными условиями. Основное состояние кластера представляет собой суперпозицию антиферромагнитного состояния и состояний без антиферромагнитного упорядочения на атомах меди.

Можно считать, что примерно на половине атомов меди имеется по одной дырке, а на остальных атомах имеется либо ни одной, либо две дырки. Альтернативная интерпретация: лишь половину времени дырка проводит на атомах меди. Антиферромагнитное упорядочение возникает в том случае, когда на ближайших атомах меди имеется по одной дырке. Кроме того, необходимо, чтобы на атоме кислорода между этими атомами меди либо не было дырки, либо было две дырки, чтобы исключить возникновение ферромагнитного взаимодействия. При этом не имеет значения, рассматриваем мы мгновенную конфигурацию дырок или одну или составляющих волновой функции основного состояния.

Используя терминологию теорию протекания, будем называть атомы меди с одной дыркой неблокированными узлами, а атомы кислорода с одной дыркой разорванными связями. Переход дальний ферромагнитный порядок - ближний ферромагнитный порядок в этом случае будет соответствовать порогу протекания, то есть появлению стягивающего кластера - бесконечной цепочки неблокированных узлов, соединенных неразорванными связями.

По крайней мере два момента резко отличают задачу от стандартной теории протекания: во-первых, стандартная теория предполагает наличие атомов двух сортов, магнитных и немагнитных, мы же имеем только атомы одного сорта (меди), свойства которых меняются в зависимости от локализации дырки; во-вторых, стандартная теория считает два узла связанными, если оба они не блокированы (магнитные) - задача узлов, либо, если связь между ними не разорвана - задача связей; в нашем же случае происходит как блокирование узлов, так и разрыв связей.

Таким образом, задача сводится к отысканию порога протекания на квадратной решетке для комбинирования задачи узлов и связей.

.3 Применение теории перколяции к исследованию газочувствительных датчиков с перколяционной структурой

В последние годы широкое применение в нанотехнологии находят золь-гель процессы, не являющиеся термодинамически равновесными. На всех этапах золь-гель процессов протекают многообразные реакции, влияющие на конечный состав и структуру ксерогеля. На этапе синтеза и созревания золя возникают фрактальные агрегаты, эволюция которых зависит от состава прекурсоров, их концентрации, порядка смешивания, значения pH среды, температуры и времени реакции, состава атмосферы и т. п. Продуктами золь-гель технологии в микроэлектронике, как правило, являются слои, к которым предъявляются требования гладкости, сплошности и однородности по составу. Для газочувствительных сенсоров нового поколения больший интерес представляют технологические приемы получения пористых нанокомпозитных слоев с управляемыми и воспроизводимыми размерами пор. При этом нанокомпозиты должны содержать фазу для улучшения адгезии и одну или более фаз полупроводниковых металлооксидов n-типа электропроводности для обеспечения газочувствительности. Принцип действия полупроводниковых газовых сенсоров на основе перколяционных структур металлооксидных слоев (например, диоксида олова) заключается в изменении электрофизических свойств при адсорбции заряженных форм кислорода и десорбции продуктов их реакций с молекулами восстанавливающих газов. Из представлений физики полупроводников следует, что если поперечные размеры проводящих ветвей перколяционных нанокомпозитов будут соизмеримы со значением характеристической длины дебаевского экранирования, газочувствительность электронных датчиков возрастет на несколько порядков. Однако накопленный авторами экспериментальный материал свидетельствует о более сложной природе возникновения эффекта резкого повышения газочувствительности. Резкий рост газочувствительности может происходить на сетчатых структурах с геометрическими размерами ветвей, в несколько раз превосходящими значения длины экранирования, и зависеть от условий фракталообразования.

Ветви сетчатых структур представляют собой матрицу диоксида кремния (или смешанную матрицу диоксидов олова и кремния) с включенными в нее кристаллитами диоксида олова (что подтверждается результатами моделирования), образующими проводящий стягивающий перколяционный кластер при содержании SnO2 более 50 %. Таким образом, можно качественно объяснить повышение значения порога протекания за счет расхода части содержания SnO2 в смешанную непроводящую фазу. Однако природа формирования сетчатых структур представляется более сложной. Многочисленные эксперименты по анализу структуры слоев методами АСМ вблизи предполагаемого значения порога перколяционного перехода не позволили получить достоверных документальных подтверждений эволюции системы с образованием крупных пор по закономерностям перколяционных моделей. Иными словами, модели роста фрактальных агрегатов в системе SnO2 - SnO2 качественно описывают только начальные стадии эволюции золя.

В структурах с иерархией пор протекают сложные процессы адсорбции-десорбции, перезарядки поверхностных состояний, релаксационные явления на границах зерен и пор, катализ на поверхности слоев и в области контактов и др. Простые модельные представления в рамках моделей Ленгмюра и Брунауэра - Эммета - Теллера (БЭТ) применимы только для понимания преобладающей усредненной роли того или иного явления. Для углубления изучения физических особенностей механизмов газочувствительности потребовалось создание специальной лабораторной установки, обеспечивающей возможность регистрации временных зависимостей изменения аналитического сигнала при разных температурах в присутствии и отсутствии восстанавливающих газов заданной концентрации. Создание экспериментальной установки позволяло автоматически снимать и обрабатывать 120 измерений в минуту в рабочем диапазоне температур 20 - 400 ºС.

Для структур с сетчатым перколяционным строением были выявлены новые эффекты, наблюдающиеся при экспонировании в атмосфере восстанавливающих газов пористых наноструктур на основе металлооксидов.

Из предложенной модели газочувствительных структур с иерархией пор следует, что для увеличения чувствительности адсорбционных полупроводниковых сенсорных слоев принципиально возможно обеспечить относительно высокое сопротивление образца на воздухе и относительно низкое сопротивление пленочных наноструктур в присутствии газа-реагента. Практическое техническое решение может быть реализовано путем создания в зернах системы наноразмерных пор высокой плотности распределения, обеспечивающей эффективную модуляцию процессов токопротекания в перколяционных сетчатых структурах. Это было реализовано с помощью целенаправленного введения оксида индия в систему на основе диоксидов олова и кремния.

Заключение

Теория перколяции довольно новое и не до конца изученное явления. Каждый год в области теории перколяции делаются открытия, пишутся алгоритмы, публикуются работы.

Теория перколяции привлекает к себе внимание различных специалистов по ряду причин:

Легкие и элегантные формулировки задач теории перколяции сочетаются с трудностью их решения;

Решение задач перколяции требует объединения новых идей из геометрии, анализа и дискретной математики;

Физическая интуиция бывает весьма плодотворна при решении задач перколяции;

Техника, развитая для теории перколяции, имеет многочисленные приложения в других задачах о случайных процессах;

Теория перколяции дает ключ к пониманию иных физических процессов.

Список литературы

Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. - М.: УРСС, 2002.

Шабалин В.Н., Шатохина С.Н. Морфология биологических жидкостей человека. - М.: Хризостом, 2001. - 340 с.: ил.

Плакида Н. М. Высокотемпературные сверхпроводники. - М.: Международная программа образования, 1996.

Физические свойства высокотемпературных сверхпроводников/ Под. Ред. Д. М. Гинзберга.- М.: Мир, 1990.

Просандеев С.А., Тарасевич Ю.Ю. Влияние корреляционных эффектов на зонную структуру, низкоэнергетические электронные возбуждения и функции откликов в слоистых оксидах меди. // УФЖ 36(3), 434-440 (1991).

Ельсин В.Ф., Кашурников В.А., Опёнов Л.А. Подливаев А.И. Энергия связи электронов или дырок в кластерах Cu - O: точнаядиагонализация гамильтониана Эмери. // ЖЭТФ 99(1), 237-248 (1991).

Мошников В.А. Сетчатые газочувствительные нанокомпоненты на основе диоксидов олова и кремния. - Рязань, "Вестник РГГТУ", - 2007.

перколяция иначе протекание (англ. ) — в материаловедении - скачкообразное возникновение новых свойств в материале (электрической проводимости - для изолятора, газопроницаемости - для газонепроницаемого материала и т. д.) при его наполнении «заполнителем», обладающим данной характеристикой. В ряде случаев, заполнителем могут выступить поры и пустоты.

Описание

Перколяция возникает при некоторой критической концентрации наполнителя или пор (пороге перколяции) в результате образования от одной стороны образца материала до противоположной непрерывной сетки (канала) из частиц (кластеров) наполнителя.

Процесс перколяции может быть наглядным образом рассмотрен на примере протекания электрического тока в двумерной квадратной решетке, состоящей из электропроводящих и непроводящих участков. К двум противоположным сторонам решетки припаяны металлические контакты, которые присоединены к источнику питания. При некотором критическом значении доли проводящих элементов, расположенных случайным образом, цепь замыкается (рис.).

В 2010 г. «за доказательство конформной инвариантности перколяции и модели Изинга в статистической физике» Станислав Смирнов, уроженец Санкт-Петербурга стал лауреатом математической премии Филдса - эквивалента Нобелевской премии.

Иллюстрации

Введение

Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на западе публикуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции, так и ее приложениям.

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика, теорию перколяции следует отнести к теории вероятности в графах. С точки зрения физика - перколяция - это геометрический фазовый переход. С точки зрения программиста - широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика - простой, но мощный инструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.

Данная работа будет посвящена основным положениям теории перколяции. Я рассмотрю теоретические основы перколяции, приведу примеры, поясняющие явление перколяции. Также будет рассмотрены основные приложения теории перколяции.

Теория перколяции

Теория перколяции (протекания) -- теория, описывающая возникновение бесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов. Представляя среду в виде дискретной решетки, сформулируем два простейших типа задач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки, считая долю крашенных узлов основным независимым параметром и полагая два крашенных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной цепочкой соседних крашенных узлов.

Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в него крашенных узлов, составляют содержание задачи узлов. Можно также выборочно красить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере и т.д. составляют содержание задачи связей. Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является моделью изолятора. Когда они все открыты и по проводящим связям через открытые узлы может идти ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении произойдет перколяционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор.

Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной среды перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода.

Явление перколяции (или протекания среды) определяется:

Средой, в которой наблюдается это явление;

Внешним источником, который обеспечивает протекание в этой среде;

Способом протекания среды, который зависит от внешнего источника.

В качестве простейшего примера можно рассмотреть модель протекания (например электрического пробоя) в двумерной квадратной решетке, состоящей из узлов, которые могут быть проводящими или непроводящими. В начальный момент времени все узлы сетки являются непроводящими. Со временем источник заменяет непроводящие узлы на проводящие, и число проводящих узлов постепенно растет. При этом узлы замещаются случайным образом, то есть выбор любого из узлов для замещения является равновероятным для всей поверхности решетки.

Перколяцией называют момент появления такого состояния решетки, при котором существует хотя бы один непрерывный путь через соседние проводящие узлы от одного до противоположного края. Очевидно, что с ростом числа проводящих узлов, этот момент наступит раньше, чем вся поверхность решетки будет состоять исключительно из проводящих узлов.

Обозначим непроводящее и проводящее состояние узлов нулями и единицами соответственно. В двумерном случае среде будет соответствовать бинарная матрица. Последовательность замены нулей матрицы на единицы будет соответствовать источнику протекания.

В начальный момент времени матрица состоит полностью из непроводящих элементов:

перколяция гелеобразование газочувствительный кластер

По мере увеличения числа проводящих узлов наступает такой критический момент, когда происходит перколяция, как показано ниже:

Видно, что от левой к правой границе последней матрицы имеется цепочка элементов, которая обеспечивает протекание тока по проводящим узлам (единицам), непрерывно следующим друг за другом.

Перколяция может наблюдаться как в решетках, так и других геометрических конструкциях, в том числе непрерывных, состоящих из большого числа подобных элементов или непрерывных областей соответственно, которые могут находиться в одном из двух состояний. Соответствующие математические модели называются решеточными или континуальными.

В качестве примера перколяции в непрерывной среде может выступать прохождение жидкости через объемный пористый образец (например, воды через губку из пеноообразующего материала), в котором происходит постепенное надувание пузырьков до тех пор, пока их размеров не станет достаточно для просачивания жидкости от одного края образца до другого.

Индуктивно, понятие перколяции переносится на любые конструкции или материалы, которые называются перколяционной средой, для которой должен быть определен внешний источник протекания, способ протекания и элементы (фрагменты) которой могут находиться в разных состояниях, одно из которых (первичное) не удовлетворяет данному способу прохождения, а другое удовлетворяет. Способ протекания также подразумевает собой определенную последовательность возникновения элементов или изменение фрагментов среды в нужное для протекания состояние, которое обеспечивается источником. Источник же переводит постепенно элементы или фрагменты образца из одного состояния к другому, пока не наступит момент перколяции.

Порог протекания

Совокупность элементов, по которым происходит протекание, называется перколяционным кластером. Будучи по своей природе связным случайным графом, в зависимости от конкретной реализации он может иметь различную форму. Поэтому принято характеризовать его общий размер. Порогом протекания называется количество элементов перколяционного кластера, отнесенное к общему количеству элементов рассматриваемой среды.

Ввиду случайного характера переключений состояний элементов среды, в конечной системе чётко определенного порога (размера критического кластера) не существует, а имеется так называемая критическая область значений, в которую попадают значения порога перколяции, полученные в результате различных случайных реализаций. С увеличением размеров системы область сужается в точку.